树状数组

1 一维树状数组

1 什么是树状数组
树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构，假设数组A[1..n]，那么查询A[1]+...+A[n]的时，间是log级别的，而且是一个在线的数据结构。

2 树状数组作用
我们经常会遇到动态连续和查询问题，给定n个元素A[1~N]，让我们求sum[L,R] = A[L]+...+A[R]，或者更改A[i]的值。

假设数据很小的时候，那么我们利用暴力就可以搞定，这个时候更改A[i]的复杂度为O(1)，但是求和的复杂度为O(n)，如果有m次求和就是O(n*m)，但是m很大的时候这个方法显然是不能够满足效率的要求。这个时候我们引入树状数组，树状数组的求和和更新都是O(logN)，所以大大的降低了复杂度。

3 具体分析

1 建立树状数组就是先把A[] 和 C[]清空，然后假设有n个数那么就是做n次的update()操作就是建立树状数组，所以总的时间复杂度为O(nlogn)。

2 设原数组为A[1..N]，树状数组为c[1..N]，其中c[k] = A[k-(2^t)+1] + ... + A[k]。比如c[6] = A[5] + A[6]。

假设 A为被计数数组，C为树状数组（计数）

0000 0001：C1 = A1
0000 0010：C2 = A1 + A2
0000 0011：C3 = A3
0000 0100：C4 = A1 + A2 + A3 + A4
0000 0101：C5 = A5
0000 0110：C6 = A5 + A6
0000 0111：C7 = A7
0000 1000：C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
...
0001 0000：C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8+ A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15+ A16

3 也就是说，把k表示成二进制1***10000，那么c[k]就是A[1***00001] + A[1***00010] + ... + A[1***10000] 这一段数的和。

4 设一个函数lowbit(k)为取得k的最低非零位，容易发现，根据上面的表示方法，从A[1]到A[k]的所有数的总和即为
sum[k] = c[k] + c[k-lowestbit(k)] + c[k-lowestbit(k)-lowestbit(k-lowestbit(k))] + ... 于是可以在logk的时间内求出sum[k]。

5 当数组中某元素发生变化时，需要改动的c值是c[k],c[k+lowestbit(k)], c[k+lowestbit(k)+lowestbit(k+lowestbit(k))] ... 这个复杂度是logN (N为最大范围)

6 如果题目要求sum[L , R] = sum[R]-sum[L-1]
sum[L-1] = A[1]+A[2]+...+A[L-1]
sum[R] = A[1]+A[2]+...+A[L]+...+A[R]
sum[R]-sum[L-1] = A[L]+A[L+2]+...+A[R]

7 树状数组的下标严格从1开始，所以如果出现0的情况要注意加1.(因为lowbit(0)是0所以如果出现为0的时候会进入无限循环中) , 树状数组中的每个元素至少含有它本身的一个值。

2 二维树状数组

1 二维树状数组说白了就是每一维都是树状数组

问题：一个由数字构成的大矩阵，能进行两种操作
1 对矩阵里的某个数加上一个整数（可正可负）
2 查询某个子矩阵里所有数字的和,要求对每次查询，输出结果。

2 一维树状数组很容易扩展到二维，在二维情况下:数组A[][]的树状数组定义为：
C[x][y] = ∑ a[i][j], 其中，x-lowbit(x) + 1 <= i <= x , y-lowbit(y) + 1 <= j <= y.

3 例：举个例子来看看C[][]的组成。
设原始二维数组为：
　 A[][]={{a11,a12,a13,a14,a15,a16,a17,a18,a19},
{a21,a22,a23,a24,a25,a26,a27,a28,a29},
{a31,a32,a33,a34,a35,a36,a37,a38,a39}，
{a41,a42,a43,a44,a45,a46,a47,a48,a49}};
那么它对应的二维树状数组C[][]呢？

记:
B[1]={a11,a11+a12,a13,a11+a12+a13+a14,a15,a15+a16,...} 这是第一行的一维树状数组
B[2]={a21,a21+a22,a23,a21+a22+a23+a24,a25,a25+a26,...} 这是第二行的一维树状数组
B[3]={a31,a31+a32,a33,a31+a32+a33+a34,a35,a35+a36,...} 这是第三行的一维树状数组
B[4]={a41,a41+a42,a43,a41+a42+a43+a44,a45,a45+a46,...} 这是第四行的一维树状数组

那么：
C[1][1] = a11 , C[1][2] = a11+a12 , C[1][3] = a13 , C[1][4] = a11 + a12 + a13 + a14 , c[1][5]=a15.这是A[][]第一行的一维树状数组

C[2][1] = a11 + a21 , C[2][2] = a11 + a12 + a21 + a22 , C[2][3] = a13 + a23 , C[2][4] = a11 + a12 + a13 + a14 + a21 + a22 + a23 + a24 这是A[][]数组第一行与第二行相加后的树状数组

C[3][1] = a31 , C[3][2] = a31 + a32 , C[3][3] = a33 , C[3][4] = a31 + a32 + a33 + a34 , C[3][5] = a35 , C[3][6]=a35+a36,...这是A[][]第三行的一维树状数组

C[4][1] = a11 + a21 + a31 + a41 , C[4][2] = a11 + a12 + a21 + a22 + a31 + a32 + a41 + a42 ，这是A[][]数组第一行+第二行+第三行+第四行后的树状数组

3 树状数组的两类操作

1 单点更新，区间求和

1 一维树状数组，单点更新，区间求和

比如要更新点x ，x点的值加上val即调用add(x , val) ， 求区间[1 , x]的和即为getSum(x)

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

int getSum(int x){
    int sum = 0;
    while(x){
        sum += treeNum[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return sum;
}

void add(int x , int val){
    while(x < MAXN){
         treeNum[x] += val;
         x += lowbit(x);
    }
}

2 二维树状数组，单点更新，区间求和

比如要更新点(x , y) ，(x , y)点的值加上val即调用add(x , y , val) ， 求矩形[1 , 1] - [x , y]的和即为getSum(x , y)

如上图求矩形的面积为getSum(x2 , y2)-getSum(x1-1,y2)-getSum(x2,y1-1)+getSum(x1-1 , y1-1)

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

int getSum(int x , int y){
    int sum = 0;
    for(int i = x ; i > 0 ; i -= lowbit(i))
       for(int j = y ; j > 0 ; j -= lowbit(j))
           sum += treeNum[i][j];
    return sum;
}

void add(int x , int y , int val){
    for(int i = x ; i < MAXN ; i += lowbit(i))
       for(int j = y ; j < MAXN ; j += lowbit(j))
           treeNum[i][j] += val;
}

2 区间更新，单点求和

1 一维树状数组

更改区间[x , y]，区间[x , y]里面的每个数全部加上val , 查询点k的值

区间[x , y]加上val相当于点x加上val , 点y+1减去val，那么求k点的值就等于[1,k]的和

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

int getSum(int x){
    int sum = 0;
    while(x){
        sum += treeNum[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return sum;
}

void add(int x , int val){
    while(x < MAXN){
         treeNum[x] += val;
         x += lowbit(x);
    }
}

void solve(){
    // 把区间[x , y]每一点加上val
    add(x , val);
    add(y+1 , -val);
    // 计算点k的值
    int num = getSum(k);
}

2 二维树状数组

更改矩形[x1 , y1] - [x2 , y2]，[x1 , y1] - [x2 , y2]里面的每个数全部加上val , 查询点(x , y)的值

矩形[x1 , y1] - [x2 , y2]里面的每一个元素加上val相当于点(x1 , y1)加上val , 点(x1 , y2+1)减去val，点(x2+1 , y1)减去val ， 点(x2+1 , y2+1)加上val。那么求某个点(x , y)的值即求[1 , 1] - [x , y]的和

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

int getSum(int x , int y){
    int sum = 0;
    for(int i = x ; i > 0 ; i -= lowbit(i))
       for(int j = y ; j > 0 ; j -= lowbit(j))
           sum += treeNum[i][j];
    return sum;
}

void add(int x , int y , int val){
    for(int i = x ; i < MAXN ; i += lowbit(i))
       for(int j = y ; j < MAXN ; j += lowbit(j))
           treeNum[i][j] += val;
}

void solve(){
     // 矩形[x1 , y1]-[x2 , y2]每个点加上val
     add(x1 , y1 , val); 
     add(x2+1 , y1 , -val); 
     add(x1 , y2+1 , -val); 
     add(x2+1 , y2+1 , val); 
     // 求点(x , y)的值
     int num = getSum(x , y);
}

5 常用的技巧

假设初始化数组每个点的值为1，那么我们知道对于一维的树状数组来说，我们知道treeNum[i] = lowbit(i) . 对于二维树状数组来说treeNum[i][j] = lowbit(i)*lowbit(j)

void init(){
    // 一维
    memset(treeNum , 0 , sizeof(treeNum));
    for(int i = 1 ; i < MAXN ; i++){
        num[i] =1;
        treeNum[i] = lowbit(i);
    }
    
    // 二维
    memset(treeNum , 0 , sizeof(treeNum));
    for(int i = 1 ; i < MAXN ; i++){
       for(int j = 1 ; j < MAXN ; j++){
           num[i][j] = 1;
           treeNum[i][j] = lowbit(i)*lowbit(j);
       }
    }
}